Froster's blog
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cg-notes

发表于 更新于

有关图形学的一点点笔记。不过因为为一般会用ipad记，所以这里的就当复习用吧....
不会太详细，毕竟是笔记。

数学

齐次坐标

https://blog.csdn.net/zhuiqiuzhuoyue583/article/details/95228010

变换

视图变换

模型变换 Model

上面提到的几种变换的组合，往世界里摆物体。
local space -> world space

视图变换 View

word space -> view space

这里用的都是右手系，但opengl是左手系。可能实际会有正负号的区别。

描述相机：位置，朝向(lookat/gaze) ，上方向
有，且两者均为单位向量。

把相机移到约定俗成的

由于相机和物体的相对位置不变，画面不变，所以实际大概是直接规定相机在这然后移所有物体...

移动包括一个平移一个旋转。有。
其中，
对于，先求逆（方便！）：
由于这玩意的列向量都是单位向量，还是正交的，所以是正交矩阵，转置一下就是了。

投影变换 Projection

view space -> clip space

把所有可见坐标变换到(-1.0, 1.0)的范围内，然后裁剪掉这部分之外的内容。

正交投影 Orthographic projection

相机离的无限远，可见范围就变成一个立方体了。

规定可见的立方体的坐标l(left), r(right), b(bottom), t(top), f(far), n(near)。根据摄像机up=y, lookat=-z来定义。
然后把这个立方体变成(-1, 1)的标准立方体。

显然先移动再缩放一下就好了。有：

透视投影 Perspective projection

摄像机是某个点，从这里投出一个四棱锥。规定四棱锥平行于底面的两个平面为zNear和zFar，渲染这个Frustum里的东西。


把左边的frustum挤压成立方体，然后使用透视投影的方法。


图是拿notability手画的所以非常丑陋
由图，根据相似三角形，有。同理。
所以有：

那一行?要用两个特殊值：zNear平面点不动，zFar平面点的z不变来解。往里一代：

最后。

还有确定坐标的问题...。zFar(f)和zNear(n)是已知的，另外两个参数是摄像机的fov(一般是fovY)和宽高比aspect。
那么， 根据对称性，，。

由于摄像机是固定的，又有一些奇奇怪怪的对称性，所以可以化简下：

线性插值

双线性插值：

为插出5，先插m和n，再用m和n插出5。多维的同理。

重心坐标

对于三角形ABC内的任意点，都可以用表示。其中： - ，若不等于1则不在平面内。 - 。否则在三角形外。

把点和ABC分别连起来，围成三个小三角形。A正对的三角形面积记为，则。， 同理。（算面积用cross product）

重心坐标插值

三角形内一点。

TBN坐标系

一个local的坐标系。三个轴是Tangent, Bitangent和Normal。前两者对应贴图的uv，normal当然是法线。

可以用三角形的两条边的向量算出TB。N则是三角形本身的法向量。

公式和推导过程见https://learnopengl-cn.github.io/05%20Advanced%20Lighting/04%20Normal%20Mapping/。

Perlin noise

生成噪声的东西，公式看不懂...总之有。可以和纹理组合起来用。

光照

一些物理定义

https://zhuanlan.zhihu.com/p/389616851

漫反射 Diffuse

用于Lambert物体（粗糙的那种）。
Lambert物体符合Lambert cosine law：。就是上面的那一项。

符合各项同性，光从各个方向来没有区别，只和法线夹角有关系。

表示物体反射某种颜色光的能力（其实就是颜色）。

虎书里用的代表RGB颜色，规定和的每个分量都在[0,1]之内，这样最终结果也小于1。

公式里的max可以换成绝对值。这么搞叫two-sided lighting，相当于镜像再放置一个光源。

环境光 Ambient

据说直觉上是场景内所有颜色的平均值....？

如果要保证，可以让。

镜面反射或者叫高光 Specular/Phong shading


（图片的字母不太一样，e是V，少了一个I的反射R）


Blinn Phong的话，是

是镜面反射系数（反射某种颜色光的能力，和差不多）。用来控制反射光颜色。

n越大反射光越集中。实际上是让缩小的更快一点。

Blinn Phong的效果更柔和一点。

Shading

Vertex-Based Diffuse Shading

算顶点的颜色，然后重心坐标插值出三角形的颜色。

Phong Shading

重心坐标插值出三角形中所有点的法向（本质是对原来光滑曲面的近似），然后用这个法向算颜色。

Texture

提供一个Texture function（可以是函数或者查表，就是图片），和一个平面上点对texture function的对应关系，就可以贴纹理了（

2D纹理

提供一个2D坐标。习惯上，在此之外的砍掉整数部分。

需要把物体的xyz坐标map到uv上。好像不用对应的很紧密，只要像那个形状就可以往上贴（不过肯定会失真）。

平面投影


在平坦的表面上很好用，但和投影方向（一般是法线）垂直的地方就会出现那个面全部被map到texture的一个点上的情况...

球坐标

把xyz转到球坐标上，得到，。由于，有。

地球仪用的这种。

柱坐标

先转到柱坐标再归一化。和球差不多。

Cubemaps

球坐标在两极会变形，可以用一个立方体代替（不过有在边上不连续的缺点）。

具体是把球上的点投到包着球的正方体上。即可。正方体每个面有一个(u,v)。具体的坐标挺讲究。。。查书吧。

纹理坐标插值

三角形的每一个顶点存一个(u, v)。内部的某个点的uv通过插值得到。

这里的插值不能在做齐次除法（v/w）后的screen space算（重心坐标会变），需要先在screen space算出重心坐标，然后通过： 算出world space（MVP矩阵不会改变重心坐标所以在哪的都一样）的重心坐标。和同理。

具体为什么....我猜是因为齐次除法把z搞没了少了一个维度（w在persp后其实是z）。嗯推公式也能推出来，总之不管了。

这玩意叫透视校正插值。

取纹理值的方法

插值出的uv不是整数。如果texture function是离散的，得有一个方法取值： - nearest neighbor：取最靠近的一个 - bilinear：拿周围四个双线性插值 - hermite：把bilinear用的换成 - bicubic：拿周围十六个点 - ...

MipMap

解决texture太大的问题（屏幕上的一个像素对应texture的多个像素）。

本质是范围查询。对屏幕上的某个点o，找邻近两点（上和右）a, b。取mipmap level 。D代表在第几层会取到一个像素。

D不是整数，所以用trilinear interpolation。在floor(D)和ceil(D)双线性插，结果再插一次。

会导致Overblur的问题。原因是每次缩放一半相当于只有宽高比为1的情况。用各项异性过滤（Anisotropic Filtering）可以解决宽高比不为1，但斜着就不行了。

纹理的应用

Environment map

天空盒，用一个球或者cubemap记录无限远处的环境光照，这样可以只通过方向查询env map上的点。

凹凸贴图 Bump map

用贴图记录表面上的相对高度，从而改变法线。
二维： 用邻近的一点求切线 三维同理。求出du, dv，然后

求出的法线在TBN坐标系下。

法线贴图 Normal map

更好用的Bump map（以至于前者基本没人用）。

贴图记录法线而不是高度差，直接替换即可。也在TBN下。

位移贴图 Displacement map

真正的移动顶点的位置。需要和三角形的顶点一一对应（所以顶点得足够多）。

未完待续